Odaları 1, 2, 3, … diye numaralanmış ve bütün odaları dolu Hilbert’in Oteli’ne sonsuz uzunlukta bir otobüs geliyor. Otelde kalan herkes, oda numarasının iki katı olan odaya geçerse hangi odalar boşalır?

Çift numaralı odaların hepsi

Meraklısına · Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri

Sonsuzluğun da büyüğü var mı?

Doğal sayılar mı daha kalabalık, çift sayılar mı? Birebir eşleme, Hilbert’in Oteli ve Cantor’un köşegen yöntemiyle sonsuzlukları karşılaştırıyoruz.

Sınav dışı · merak için
2 soru

Burası sınav dışı bir köşe: acele etme, keyfini çıkar. Sorular puan için değil, merak için.

Hikâye

Sayı kümelerini tanıdın: doğal sayılar $\mathbb{N}$, tam sayılar $\mathbb{Z}$, rasyonel sayılar $\mathbb{Q}$ ve gerçek sayılar $\mathbb{R}$. Her biri bir sonrakinin içinde: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Hepsinin de sonsuz tane elemanı var. Peki içteki küme dıştakinden “daha az” elemanlı mı? Daha basit bir soruyla başlayalım: Doğal sayılar mı daha kalabalık, çift doğal sayılar mı? İlk bakışta cevap açık gibi: Çift sayılar, doğal sayıların yalnızca bir parçası. Ama 1870’lerde küme kuramının temellerini atan Alman matematikçi Georg Cantor, bu soruya bambaşka bir gözle baktı.

Saymadan karşılaştırmak: birebir eşleme

Cantor’a göre iki kümeyi saymadan da karşılaştırabilirsin: Birinin her elemanını ötekinin tam olarak bir elemanıyla eşleyebiliyorsan ve iki tarafta da açıkta eleman kalmıyorsa, iki küme “aynı büyüklüktedir”. Buna birebir eşleme denir. Doğal sayıları çift sayılarla eşlemek çok kolay:

0 ↔ 0, 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, …
genel olarak her $n$ doğal sayısı ↔ $2n$ çift sayısı.

Hiçbir sayı açıkta kalmaz; demek ki çift sayılar doğal sayılar kadar çoktur! Doğal sayılarla bu şekilde eşlenebilen sonsuzluğa sayılabilir sonsuzluk denir. Tam sayılar, hatta bütün rasyonel sayılar da sayılabilir: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$ aynı büyüklükte sonsuzluklardır.

Hilbert’in Oteli

Bu fikri canlandırmanın en eğlenceli yolu, David Hilbert’in adıyla anılan Hilbert’in Oteli. Odaları 1, 2, 3… diye sonsuza kadar numaralanmış bir otel düşün; bütün odalar dolu. Yine de resepsiyon kimseyi geri çevirmez:

Bir yeni misafir gelirse: Herkes bir sonraki odaya geçer; $n$ numaralı odadaki misafir $n + 1$ numaralı odaya. 1 numaralı oda boşalır.
Yolcuları 1, 2, 3… diye numaralanmış, sonsuz uzunlukta bir otobüs gelirse: Herkes oda numarasının iki katı olan odaya geçer; $n$ numaralı odadaki misafir $2n$ numaralı odaya. Tek numaralı odaların hepsi boşalır ve otobüsün bütün yolcuları yerleşir.

Tanıdık geldi mi? Otobüs çözümü, doğal sayılarla çift sayıların eşlemesinin ta kendisi.

Her sonsuzluk sayılabilir mi?

Hayır! Cantor gerçek sayıların sayılamadığını 1874’te kanıtlamıştı; 1891’de yayımladığı köşegen yöntemi ise bunu çok daha kısa yoldan gösterdi. Yöntem üç adımdan oluşur:

0 ile 1 arasındaki bütün gerçek sayıları ondalık açılımlarıyla alt alta bir listeye yazabildiğini varsay.
Yeni bir sayı kur: Virgülden sonraki 1. basamağı listedeki 1. sayının 1. basamağından, 2. basamağı 2. sayının 2. basamağından farklı olsun ve bu böyle sürsün (örneğin o basamak 5 ise 4, değilse 5 yaz).
Kurduğun sayı listedeki her sayıdan en az bir basamakta ayrılır; yani listede yoktur.

Hangi listeyi yaparsan yap bir sayı hep dışarıda kalır: Gerçek sayılar sayılamaz. Yani $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ zincirinin son halkasında sonsuzluk büyür; Hilbert’in Oteli bile bu kalabalığa yetmez.

En büyük sonsuzluk yok

Hikâye burada da bitmiyor. $n$ elemanlı bir kümenin $2^n$ tane alt kümesi vardır: Her eleman bir alt kümede ya bulunur ya bulunmaz, yani her eleman için 2 seçenek var. $2^n$ her zaman $n$ sayısından büyüktür. Cantor aynı şeyin sonsuz kümeler için de geçerli olduğunu gösterdi: Bir kümenin bütün alt kümelerinden oluşan küme, her zaman kümenin kendisinden daha büyük bir sonsuzluktur. Yani “en büyük sonsuzluk” diye bir şey yok!

Cantor’un fikirleri ilk ortaya çıktığında bazı matematikçilerce sert biçimde eleştirildi; bugün ise modern matematiğin temel taşlarından biri sayılıyor. Hilbert de onun kurduğu dünyayı, kimsenin matematikçileri kovamayacağı bir cennete benzetmişti.